Question

（2010•黄冈模拟）已知O为坐标原点，向量

OA

=（sinα，1），

OB

=（cosα，0），

OC

=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段

AP

的比为1．
（1）记函数f（α）=

PB

•

CA

，α∈（-

π

8

，

π

2

），讨论函数f（α）的单调性，并求其值域；
（2）若O，P，C三点共线，求|

OA

+

OB

|的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中O为坐标原点，向量

OA

=（sinα，1），

OB

=（cosα，0），

OC

=（-sinα，2），点P是直线AB上的一点，且点B分有向线段

AP

的比为1，我们代入定比分点坐标公式，可以求出点P的坐标，进而根据函数f（α）=

PB

•

CA

，求出函数的解析式，利用除幂公式，及辅助解公式，将函数的解析式化为正弦型函数的形式后，结合α∈（-

π

8

，

π

2

）及正弦函数的性质，我们即可求出函数f（α）的单调性，并求其值域；
（2）若O，P，C三点共线，我们向量共线的充要条件，求出tanα的值，结合|

OA

+

OB

|=

(sinα+cosα)2+1

=

sin2α+2

，利用万能公式，代入即可求出|

OA

+

OB

|的值．

解答：解：依题意知：A（sinα，1），B（cosα，0），C（-sinα，2），
设点P的坐标为（x，y），
∵点B分有向线段

AP

的比为1
∴cosα=

sinα+x

1+1

，0=

1+y

1+1

，
∴x=2cosα-sinα，y=-1，
∴点P的坐标为（2cosα-sinα，-1）（2分）
（1）∵

PB

=（sinα-cosα，1），

CA

=（2sinα，-1）
∴f（α）=

PB

•

CA

=2sin²α-2sinαcosα-1=-（sin2α+cos2α）=-

2

sin（2α+

π

4

），（4分）
由2α+

π

4

∈（0，

5π

4

）可知函数f（α）的单调递增区间为（

π

8

，

π

2

），单调递减区间为（-

π

8

，

π

8

），（6分）
 所以sin（2α+

π

4

）∈（-

2

2

，1]，其值域为[-

2

，1）；（8分）
（2）由O，P，C三点共线的-1×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
∴tanα=

4

3

，（10分）
∴sin2α=

2sinαcosα

sin2α+cos2α

=

2tanα

1+tan2α

=

24

25

，
∴|

OA

+

OB

|=

(sinα+cosα)2+1

=

sin2α+2

=

74

5

（12分）

点评：本题考查的知识点是正弦型函数的单调性，两角和与差的正弦，二倍角的正弦，二倍角的余弦，三点共线，定比分点坐标公式，其中（1）的关键是根据已知条件求出函数f（α）=

PB

•

CA

的解析式，并化简为正弦型函数的形式，将问题转化为确定正弦型函数的单调区间和值域，（2）的关键是根据向量共线的充要条件，求出tanα的值．