Question

已知圆C₁的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l₁：相切．
（Ⅰ）求圆的标准方程；
（Ⅱ）设点A（x₀，y₀）为圆上任意一点，AN⊥x轴于N，若动点Q满足，（其中m+n=1，m，n≠0，m为常数），试求动点Q的轨迹方程C₂；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当时，得到曲线C，问是否存在与l₁垂直的一条直线l与曲线C交于B、D两点，且∠BOD为钝角，请说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）设圆的半径为r，圆心到直线l₁距离为d，则
所以圆C₁的方程为x²+y²=4；
（Ⅱ）设动点Q（x，y），A（x₀，y₀），AN⊥x轴于N，N（x₀，0）
由题意，（x，y）=m（x₀，y₀）+n（x₀，0），所以
即：，
将代入x²+y²=4，
得
（Ⅲ）时，曲线C方程为，
假设存在直线l与直线l₁：垂直，
设直线l的方程为y=﹣x+b
设直线l与椭圆交点B（x₁，y₁），D（x₂，y₂）
联立得：，得7x²﹣8bx+4b²﹣12=0
因为△=48（7﹣b²）＞0，解得b²＜7，且
∴===
因为∠BOD为钝角，
所以，
解得满足b²＜7
∴
所以存在直线l满足题意。