Question

已知函数，（）.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）求证：当时，对于任意，总有成立.

Answer 1

解：（Ⅰ）函数的定义域为，

.

当时，

当变化时，，的变化情况如下表：

		0		0
	↘		↗		↘

当时，

当变化时，，的变化情况如下表：

		0		0
	↗		↘		↗

综上所述，

当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；

当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.

                                       

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，

在上单调递增，；在上单调递减，且.

所以时，.

因为，所以，

令，得.

①当时，由，得；由，得，

所以函数在上单调递增，在上单调递减.

所以.

因为，

所以对于任意，总有.

②当时，在上恒成立，

所以函数在上单调递增，.

所以对于任意，仍有.

综上所述，对于任意，总有.