Question

12．已知数列{a_n}满足${a_n}+{a_{n-1}}={（{-1}）^{\frac{{n（{n+1}）}}{2}}}n，{S_n}$是其前n项和，若S₂₀₁₇=-1007-b，且a₁b＞0，则$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{b}$的最小值为3+2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由已知得：a₃+a₂=3，a₅+a₄=-5，…a₂₀₁₇+a₂₀₁₆=-2017，把以上各式相加得：S₂₀₁₇-a₁=-1008，可得a₁+b=1，又a₁b＞0，a₁，b＞0．再利用“乘1法”与基本不等式性质即可得出．

解答 解：由已知得：a₃+a₂=3，a₅+a₄=-5，…a₂₀₁₇+a₂₀₁₆=-2017，
把以上各式相加得：S₂₀₁₇-a₁=-1008，
即：a₁-1008=-1007-b，
∴a₁+b=1，又a₁b＞0，
∴a₁，b＞0．
则$\frac{1}{a_1}+\frac{2}{b}$=（a₁+b）$（\frac{1}{{a}_{1}}+\frac{2}{b}）$=3+$\frac{b}{{a}_{1}}$+$\frac{2{a}_{1}}{b}$≥3+$2\sqrt{\frac{b}{{a}_{1}}•\frac{2{a}_{1}}{b}}$=3+2$\sqrt{2}$，当且仅当b=$\sqrt{2}$a₁=2-$\sqrt{2}$时取等号．
故答案为：$3+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了“累加求和”、“乘1法”与基本不等式性质，考查了分类讨论方法、推理能力与就计算能力，属于中档题．