Question

已知数列{a_n}中，a₁=1且a_n+1=2a_n+3．
（1）求证：数列{a_n+3}是等比数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）由已知可得a_n+1+3=2（a_n+3），可得数列{a_n+3}是等比数列；
（2）由（1）可得an=2n+1-3，可得T_n=2²+2³+2³+…+2ⁿ⁺¹-3n，由等比数列的求和公式计算可得．

解答：解：（1）∵a_n+1=2a_n+3，∴a_n+1+3=2（a_n+3）…（2分）
即

an+1+3

an+3

=2，又a₁+3=4≠0…（3分）
∴数列{a_n+3}是以4为首项，2为公比的等比数列．     …（4分）
（2）由（1）知数列{a_n+3}的通项公式为an+3=4•2n-1，
∴an=2n+1-3…（6分）
∴T_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=2²+2³+2³+…+2ⁿ⁺¹-3n
=

22(1-2n)

1-2

-3n=2ⁿ⁺²-3n-4…（11分）
∴数列{a_n}的前n项和Tn=2n+2-3n-4…（12分）

点评：本题考查等比数列关系的确定，涉及数列的求和，属中档题．