Question

已知数列{a_n}满足：a₁=-

1

2

，a_n²+（a_n+1+2）a_n+2a_n+1+1=0．
求证：（1）-1＜a_n＜0；
（2）a_2n＞a_2n-1对一切n∈N^*都成立；
（3）数列{a_2n-1}为递增数列．

Answer 1

分析：（1）用数学归纳法，①由题设条件知a_n+1=-a_n-

1

an+2

．当n=1时成立；②假设当n=k时结论成立，即-1＜a_k＜0，那么当n=k+1时，a_k+1=-（a_k+2）-

1

ak+2

+2．由此导出-1＜a_k+1＜0，当n=k+1时结论成立．由①②知，对一切n∈N^*均有-1＜a_n＜0．
（2）①当n=1时，a₂=-

1

6

＞a₁=-

1

2

成立；②假设当n=k（k≥1且k∈N）时结论成立，即a_2k＞a_2k-1，由此能推导出a_2k+2＞a_2k+1，当n=k+1时结论成立．由①②知对一切n∈N^*均有a_2n＞a_2n-1成立．
（3）由a_n+1+a_n=-

1

an+2

，知a_n+2+a_n+1=-

1

an-1+2

．由此能导出a_2n+1-a_2n-1=

a2n-a2n-1

(a2n-1+2)(a2n+2)

＞0，即数列{a_2n-1}为递增数列．

解答：证明：已知条件可化为（a_n+1+a_n）（a_n+2）+1=0，
即a_n+1=-a_n-

1

an+2

．
（1）①当n=1时已成立；
②假设当n=k时结论成立，即-1＜a_k＜0，
那么当n=k+1时，a_k+1=-（a_k+2）-

1

ak+2

+2．
∵1＜a_k+2＜2，又y=t+

1

t

在t∈（1，2）内为增函数，
∴a_k+2+

1

ak+2

∈（2，

5

2

），
∴a_k+1∈（-

1

2

，0），则-1＜a_k+1＜0，
∴当n=k+1时结论成立．
由①②知，对一切n∈N^*均有-1＜a_n＜0．
（2）①当n=1时，a₂=-

1

6

＞a₁=-

1

2

成立；
②假设当n=k（k≥1且k∈N）时结论成立，即a_2k＞a_2k-1，
∴1＜a_2k-1+2＜a_2k+2＜2，
∴a_2k-1+2+

1

a2k-1+2

＜a_2k+2+

1

a2k+2

，
∴-a_2k-1-

1

a2k-1+2

＞-a_2k-

1

a2k+2

，即a_2k＞a_2k+1．
同上法可得a_2k+2＞a_2k+1，
∴当n=k+1时结论成立．
由①②知对一切n∈N^*均有a_2n＞a_2n-1成立．
（3）a_n+1+a_n=-

1

an+2

，则a_n+2+a_n+1=-

1

an-1+2

．
两式相减得
a_n+2-a_n=

1

an+2

-

1

an-1+2

=

-an

(an+2)(an-1+2)

．
若把上式中的n换成2n-1，
则a_2n+1-a_2n-1=

a2n-a2n-1

(a2n-1+2)(a2n+2)

＞0，
∴数列{a_2n-1}为递增数列．

点评：本题考查数列的综合性质和应用，解题时要认真审题，注意数学归纲法的合理运用．