Question

已知等差数列{}的首项为a．设数列的前n项和为S_n，且对任意正整数n都有．
(1)求数列{}的通项公式及S_n；
(2)是否存在正整数n和k，使得成等比数列？若存在，求出n和k的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

(1),;(2)存在正整数n=1和k=3符合题目的要求.

试题分析：(1)令n=1，可得=3，又首项为a，可得等差数列的通项公式及S_n；(2)假设存在，由题可得，由S_n可得可化为即，又n和k为正整数，所以得出n=1，k=3满足要求.
试题解析：(1)设等差数列{a_n}的公差为d，
在中，令n=1可得=3，即
故d=2a，。
经检验，恒成立
所以，   6分
(2)由(1)知，，
假若，，成等比数列，则，
即知，
又因为，所以，经整理得
考虑到n、k均是正整数，所以n=1，k=3
所以，存在正整数n=1和k=3符合题目的要求.    13分