Question

设数列{a_n}共有n（）项，且，对每个i (1≤i≤，iN)，均有．
（1）当时，写出满足条件的所有数列{a_n}（不必写出过程）；
（2）当时，求满足条件的数列{a_n}的个数．

Answer 1

（1）共有3个：； 1，1，1； 1，2，1;（2）数列{a_n}的个数为393．

试题分析：（1）根据题意可得当时，有，因为题中要求，，也就是说，，这样即可得或或，故此时满足条件的数列{a_n}共有3个：； 1，1，1； 1，2，1;（2）由题中要求可联想到令b_i＝ (1≤i≤7)，则对每个符合条件的数列{a_n}，满足条件：，且b_i∈ (1≤i≤7)，则此时可设符合条件的数列{b_n}的个数为N， b_i (1≤i≤7)中有k个2；从而有k个，7－2k个1，当k给定时，{b_n}的取法有种，故此时．
试题解析：（1）当时，．
因为，，即，，
所以或或．
故此时满足条件的数列{a_n}共有3个：； 1，1，1； 1，2，1．          3分
（2）令b_i＝ (1≤i≤7)，则对每个符合条件的数列{a_n}，满足条件：
，且b_i∈ (1≤i≤7)．
反之，由符合上述条件的7项数列{b_n}可唯一确定一个符合条件的8项数列{a_n}．   7分
记符合条件的数列{b_n}的个数为N．
显然，b_i (1≤i≤7)中有k个2；从而有k个，7－2k个1．
当k给定时，{b_n}的取法有种，易得k的可能值只有0，1，2，3，
故．
因此，符合条件的数列{a_n}的个数为393．                                   10分