Question

【题目】如图，矩形所在平面垂直于直角梯形所在平面，，分别是的中点．

（1）求证：平面平面；

（2）求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由几何关系可知四边形是平行四边形，则． 由线面平行的判定定理可得平面． 由中位线的性质可知，则面 利用面面平行的判定定理即可证得平面平面．

（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，计算可得平面的一个法向量．而平面的一个法向量为．据此可得，然后结合同角三角函数基本关系求解二面角的正切值即可.

（1）因为是的中点，，所以．

又因为， ，所以，且，

所以四边形是平行四边形，所以．

又因为平面平面，所以平面．

因为分别是的中点，所以．

又因为平面平面，所以面

又因为平面平面，所以平面平面．

（2）以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则，

所以．

设平面的一个法向量为，则，令，得，

所以．

易知平面的一个法向量为．

所以．

又因为二面角的平面角为锐角，所以二面角的正切值．