Question

已知方向向量为的直线l过椭圆的焦点以及点（0，），直线l与椭圆C交于A、B两点，且A、B两点与另一焦点围成的三角形周长为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过左焦点F₁且不与x轴垂直的直线m交椭圆于M、N两点，（O坐标原点），求直线m的方程．

Answer 1

解：（1）l：y=，
直线l与x轴交点即为椭圆的右焦点F₂（2，0），
∴c=2，
由已知△F₁AB周长为4，
则4a=4，即a=，
∴b=，
故椭圆方程为．
（2）椭圆的左焦点为F₁（-2，0），则直线m的方程为y=k（x+2），
代入椭圆方程，得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，，
∵===||•||cos∠MON≠0，
∴sib，即，
∵=，
原点O到m的距离d=，
则==，
解得，
∴m的方程为．
分析：（1）l：y=，直线l与x轴交点即为椭圆的右焦点F₂（2，0），故c=2，由已知△F₁AB周长为4，知a=，由此能求出椭圆方程．
（2）椭圆的左焦点为F₁（-2，0），则直线m的方程为y=k（x+2），代入椭圆方程，得：（3k²+1）x²+12k²x+12k²-6=0，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则，，由此能求出m的方程．
点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．