Question

已知曲线C：y=x²与直线l：x-y+2=0交于两点A（x_A，y_A）和B（x_B，y_B），且x_A＜x_B．记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域（含边界）为D．设点P（s，t）是L上的任一点，且点P与点A和点B均不重合．
（1）若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程；
（2）若曲线G：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0与D有公共点，试求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）欲求线段PQ的中点M的轨迹方程，设线段PQ的中点M坐标为（x，y），即要求x，y间的关系式，先利用x，y列出点P（s，t）的坐标结合点P在曲线C上即得；
（2）处理圆与D有无公共点的问题，须分两种情形讨论：当0≤a≤

2

时和当a＜0时．对于后一种情形，只须只需考虑圆心E到直线l：x-y+2=0的距离即可，从而求得求a的最小值．

解答：解：（1）联立y=x²与y=x+2得x_A=-1，x_B=2，则AB中点Q(

1

2

，

5

2

)，设线段PQ的中点M坐标为（x，y），则x=

1 2 +s

2

，y=

5 2 +t

2

，即s=2x-

1

2

，t=2y-

5

2

，又点P在曲线C上，
∴2y-

5

2

=(2x-

1

2

)2化简可得y=2x2-x+

11

8

，
又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，
则-1＜2x-

1

2

＜2，即-

1

4

＜x＜

5

4

，
∴中点M的轨迹方程为y=2x2-x+

11

8

（-

1

4

＜x＜

5

4

）．
（2）曲线G：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0，
即圆E：(x-a)2+(y-2)2=

49

25

，其圆心坐标为E（a，2），半径r=

7

5

由图可知，当0≤a≤

2

时，曲线G：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0与点D有公共点；
当a＜0时，要使曲线G：x²-2ax+y²-4y+a²+

51

25

=0与点D有公共点，
只需圆心E到直线l：x-y+2=0的距离
d=

|a-2+2|

2

=

|a|

2

≤

7

5

，
得-

7 2

5

≤a＜0，则a的最小值为-

7 2

5

．

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、轨迹方程、抛物线方程、圆的方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．