Question

（2008•湖北模拟）已知曲线C：y=x²（x＞0），过C上的点A₁（1，1）作曲线C的切线l₁交x轴于点B₁，再过B₁作y轴的平行线交曲线C于点A₂，再过A₂作曲线C的切线l₂交x轴于点B₂，再过B₂作y轴的平行线交曲线C于点A&₃，…，依次作下去，记点A_n的横坐标为a_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）记b_n=（8-2n）a_n，设数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：0＜T_n≤4．

Answer 1

分析：（I）由y'=2x（x＞0）．知切线l_n的方程为y-a_n²=2a_n（x-a_n）．所以Bn(

an

2

，  0)．依题意点A_n+1在直线x=

an

2

上，所以数列{a_n}是1为首项，

1

2

为公比的等比数列．由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由bn=

4-2n

2n-2

，知Tn=

2

2-1

+

0

20

+

-2

2

+

-4

23

+…+

4-2n

2n-2

．由错位相减法能导出Tn=

4n

2n-1

=

n

2n-3

＞0，n≥2时，Tn-Tn-1=

n

2n-3

-

n-1

2n-4

=

2-n

2n-3

．由n≥2时，T_n≤T_n-1，知T_n≤T_n-1≤…≤T₂，由此能够证明0＜T_n≤4．

解答：解（I）∵y'=2x（x＞0）．∴曲线C在点A_n（a_n，a_n²）处的切线l_n的斜率为k_n=2a_n．
∴切线l_n的方程为y-a_n²=2a_n（x-a_n）．（2分）
令y₀=0得   x=

an

2

，
∴Bn(

an

2

，  0)．
依题意点A_n+1在直线x=

an

2

上，
∴an+1=

an

2

  (n∈N*)又a₁=1．（4分）
∴数列{a_n}是1为首项，

1

2

为公比的等比数列．
∴an=

1

2n-1

．（5分）
（Ⅱ）由已知bn=

4-2n

2n-2

．
∴Tn=

2

2-1

+

0

20

+

-2

2

+

-4

23

+…+

4-2n

2n-2

．①

1

2

Tn=          

2

20

+

0

2

+

-2

22

+

-4

23

+…+

4-2n

2n-1

．②
①-②得

1

2

Tn=4+

-2

20

+

-2

21

+

-2

22

+

-2

23

+…+

-2

2n-2

-

4-2n

2n-1

=4-2(1+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

)-

4-2n

2n-1

=4-2•

1-( 1 2 )n-1

1- 1 2

-

4-2n

2n-1

=

2n

2n-1

．（9分）
∴Tn=

4n

2n-1

=

n

2n-3

＞0（10分）
又n≥2时，Tn-Tn-1=

n

2n-3

-

n-1

2n-4

=

2-n

2n-3

．
又当n≥2时，T_n≤T_n-1．
∴T_n≤T_n-1≤…≤T₂．
∴当n=2时，T₁=T₂=4．
∴（T_n）_max=T₂=4，∴T_n≤4．（13分）
综上0＜T_n≤4．（14分）

点评：本题考查通项公式的求法和求证：0＜T_n≤4．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．