Question

己知

.

a

=（x+2，y），

.

b

=（x-2，y），若|

.

a

| +|

.

b

| =2

5

，点A（x，y）的轨迹为H．
（1）求点A的轨迹H的方程；
（2）过轨迹H的右焦点作直线交H于E、F，在y轴上存在点Q（0，q），使得|

.

QE

| =|

.

QF

|，求q的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由|

a

| +|

b

| =2

5

，知

a

=(x+2，y)，

b

=(x-2，y)，由此得A（x，y）的轨迹H的方程．
（2）由

my=x-2 x2+5y2=5

，得（m²+5）y²+4my-1=0，设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），EF的中点为T（x₀，y₀），由此能求出m的范围．

解答：解：（1）由|

a

| +|

b

| =2

5

，

a

=(x+2，y)，

b

=(x-2，y)，
得A（x，y）的轨迹H的方程是

x2

5

+y2=1．
（2）由

my=x-2 x2+5y2=5

，得（m²+5）y²+4my-1=0，
设E（x₁，y₁），F（x₂，y₂），EF的中点为T（x₀，y₀），
y0=

y1+y2

2

=-

2m

m2+5

，x0=my0+2=

10

m2+5

，
EF的中垂线为y+

2m

m2+5

=-m(x-

10

m2+5

)，
令x=0，得q=

8m

m2+5

，m∈R，
得m∈[-

4 5

5

，

4 5

5

]．

点评：本题考查A的轨迹H的方程和求q的取值范围．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．