Question

【题目】已知函数，

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集为空集，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】试题分析：（1）根据绝对值内的零点去掉绝对值，将函数写成分段形式，分段解不等式即可；（2）根据题意将问题转化为2≤f（x）min，由绝对值三角不等式得到函数最值，求得参数范围即可。

解析：

（1）当a=3时，f（x）=|x﹣3|+|x﹣1|，

即有f（x）=

不等式f（x）≤4即为 或 或.

即有0≤x＜1或3≤x≤4或1≤x＜3，则为0≤x≤4，

则解集为[0，4]；

（2）依题意知，f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥2恒成立，

∴2≤f（x）min；

由绝对值三角不等式得：f（x）=|x﹣a|+|x﹣1|≥|（x﹣a）+（1﹣x）|=|1﹣a|，

即f（x）min=|1﹣a|，

∴|1﹣a|≥2，即a﹣1≥2或a﹣1≤﹣2，

解得a≥3或a≤﹣1．

∴实数a的取值范围是[3，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．