Question

在直角坐标平面上，O为原点，M为动点，．过点M作MM₁⊥y轴于M₁，过N作NN₁⊥x轴于点N₁，．记点T的轨迹为曲线C，点A（5，0）、B（1，0），过点A作直线l交曲线C于两个不同的点P、Q（点Q在A与P之间）．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l，使得|BP|=|BQ|，并说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），进而可知点M₁的坐标，进而根据表示出点N的坐标和N₁的坐标，进而表示出，进而代入求得x和x'的关系，y和y'的关系，代入中求得x和y的关系，曲线C的方程可得，判断出曲线C是椭圆．
（2）当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C无交点，所以直线l斜率存在，并设为k．直线l的方程为y=k（x-5），直线方程与椭圆方程联立消去y根据判别式大于0求得k的范围，设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为R（x，y），进而根据韦达定理表示出x₁+x₂，进而求得R的坐标，根据|BP|=|BQ|推断BR⊥l，进而可知k•k_BR=-1，进而建立等式整理得20k²=20k²-4，结论不可能成立，进而判断不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．
解答：解：（Ⅰ）设点T的坐标为（x，y），点M的坐标为（x'，y'），则M₁的坐标为（0，y'），，于是点N的坐标为，N₁的坐标
为，所以
由
由此得
由，
即所求的方程表示的曲线C是椭圆．
（Ⅱ）点A（5，0）在曲线C即椭圆的外部，当直线l的斜率不存在时，直线l与椭圆C
无交点，所以直线l斜率存在，并设为k．直线l的方程为y=k（x-5）．
由方程组
依题意
当时，设交点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中点为R（x，y），
则∴
又|BP|=|BQ|?BR⊥l?k•k_BR=-1，
，
而20k²=20k²-4不可能成立，所以不存在直线l，使得|BP|=|BQ|．
点评：本题主要考查了椭圆的标准方程和椭圆与直线的关系．当涉及直线与圆锥曲线的位置关系时，常需要把直线方程与圆锥曲线的方程联立，借助韦达定理求得答案．