Question

如图，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是边长为3的正三角形，侧棱AA₁垂直于底面ABC，AA₁=，D是CB延长线上一点，且BD=BC．
（1）求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）求二面角B₁-AD-B的大小；
（3）求三棱锥C₁-ABB₁的体积．

Answer 1

解：（1）∵CB∥C₁B₁，且BD=BC=B₁C₁，
∴四边形BDB₁C₁是平行四边形，可得BC₁∥DB₁．
又B₁D?平面AB₁D，BC₁?平面AB₁D，
∴直线BC₁∥平面AB₁D
（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB₁
∵BB₁⊥平面ABD，∴BE是B₁E在平面ABD内的射影
结合BE⊥AD，可得B₁E⊥AD，
∴∠B₁EB是二面角B₁-AD-B的平面角．
∵BD=BC=AB，
∴E是AD的中点，得BE是三角形ACD的中位线，所以BE=AC=．
在Rt△BB₁E中，tan∠B₁BE===
∴∠B₁EB=60°，即二面角B₁-AD-B的大小为60°
（3）过A作AF⊥BC于F，
∵BB₁⊥平面ABC，BB₁?平面BB₁C₁C
∴平面BB₁C₁C⊥平面ABC
∵AF⊥BC，平面BB₁C₁C∩平面ABC=BC
∴AF⊥平面BB₁C₁C，即AF为点A到平面BB₁C₁C的距离．
∵正三角形ABC中，AF=×3=，
∴三棱锥C₁-ABB₁的体积V_C1-ABB1=V_A-C1BB1=××=．
分析：（1）根据三棱柱的性质，可以证出BC₁∥DB₁，结合线面平行的判定定理可以证出直线BC₁∥平面AB₁D；
（2）过B作BE⊥AD于E，连接EB₁，根据三垂线定理得∠B₁EB是二面角B₁-AD-B的平面角．在Rt△BB₁E中，利用三角函数的定义可算出∠B₁EB=60°，即二面角B₁-AD-B的大小为60°．
（3）过A作AF⊥BC于F，利用面面垂直的性质定理，可得AF⊥平面BB₁C₁C，即AF等于点A到平面B₁C₁B的距离．利用等边三角形计算出AF的长为，结合三角形B₁C₁B的面积等于，用锥体体积公式可以算出三棱锥C₁-ABB₁的体积．
点评：本题以一个特殊正三棱柱为载体，适当加以变化，求三棱锥的体积并求二面角的大小，着重考查了空间线面平行的判定、面面垂直的判定与性质等知识点，属于中档题．