Question

已知数列满足．

（1）证明数列为等比数列，并求出数列的通项公式；

（2）若数列满足．证明：数列是等差数列．

（3）证明：．

 

Answer 1

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

【解析】

试题分析：（1）证明数列为等比数列，就是证明为一个常数. 因为,所以，所以,是以2为首项,2为公比的等比数列. 则,即,；（2）证明数列是等差数列，就是要证明为一个常数．首先化简等式，即，所以，这实质是，因此作差消去得：，再作差消去常数得：，，即；（3）证明数列不等式，一般有两个思路，一是求和，二是放缩.本题由于通项不适宜求和，所以尝试放缩，即利用变量分离进行放缩，由，得.

试题解析：（1）因为,所以,且,

所以,是以2为首项,2为公比的等比数列. 2分

则,即,. 3分

（2）因为所以. 4分

所以 ①

② 6分

②-①,得

即 ③

④ 8分

④-③,得,

即

得, 10分

所以数列为等差数列.

(3）因为, 11分

所以. 12分

考点：用定义证明等差数列、等比数列，放缩法证明数列不等式