Question

（2012•洛阳模拟）已知等差数列{a_n}中，a₁•a₅=33，a₂+a₄=14，S_n为数列{a_n}的前n项和．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{a_n}的公差为正数，数列{b_n}满足b_n=

1

Sn

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）设{a_n}的公差为d，利用首项及公差d表示已知，解方程可求a₁，d，根据等差数列的通项公式可求
（2）当公差为正数时，结合（1）可求d，结合等差数列的求和公式可求S_n，进而可求b_n，结合数列通项的特点，考虑利用裂项相消求解和

解答：解：（1）设{a_n}的公差为d，则

a1(a1+4d)=33 2a1+4d=14

解得

a1=3 d=2

或

a1=11 d=-2

因此a_n=3+2（n-1）=2n+1或a_n=11-2（n-1）=-2n+13 …．（6分）
（2）当公差为正数时，d=2，S_n=3n+n（n-1）=n²+2n
∵bn=

1

Sn

=

1

n(n+2)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+2

)
∴Tn=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n-2

-

1

n

+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）
=

1

2

（1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

）=

n(3n+5)

4(n+1)(n+2)

 …．（12分）

点评：本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，数列裂项求和方法的应用，裂项时要注意不要漏掉

1

2