Question

已知函数f（x）=b（x+1）lnx-x+1，斜率为l的直线与函数f（x）的图象相切于（1，0）点．
（Ⅰ）求h（x）=f（x）-xlnx的单调区间；
（Ⅱ）当实数0＜a＜1时，讨论g(x)=f(x)-(a+x)lnx+

1

2

a

x

2

的极值点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把f（x）代入h（x），对f（x）进行求导，利用导数研究h（x）的单调区间，注意函数的定义域；
（Ⅱ）已知实数0＜a＜1，对g（x）进行求导，令g′（x）=0，得出极值点，这时方程g′（x）=0的两个根大小不一样，需要进行讨论，然后再确定极大值和极小值点；

解答：解：（Ⅰ）由题意知：f′（x）=b（lnx+

x+1

x

）-1，f′（1）=2b-1=1，b=1，
h（x）=f（x）-xlnx=lnx-x+1，h′（x）=

1

x

-1，
h′（x）=

1

x

-1＞0解得0＜x＜1；
h′（x）=

1

x

-1＜0解得x＞1；
∴h（x）=f（x）-xlnx的单调增区间（0，1）；单调减区间（1，+∞）；
（Ⅱ）实数0＜a＜1时，g(x)=f(x)-(a+x)lnx+

1

2

a

x

2

，
∴g′（x）=

1-a

x

+ax-1=

ax2-x+1-a

x

=

a[x-( 1 a -1)](x-1)

x

，
由g′（x）=0得x₁=

1

a

-1，x₂=1，
1、若0＜

1

a

-1＜1，a＞0即

1

2

＜a＜1，0＜x₁＜x₂，

x	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

此时g（x）的最小值为x=1，极大值点x=

1

a

-1，
2、若

1

a

-1=1，a＞0，即a=

1

2

，x₁=x₂=1，则g′（x）≥0，g（x）在（0，+∞）上为单调增区间，无极值点，
3、若

1

a

-1＞1，a＞0即0＜a＜

1

2

，x₁＞x₂=1，

x	（0，x2）	x2	（x2，x1）	x1	（x1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	递增	极大值	递减	极小值	递增

此时g（x）的极大值点为x=1，极小值点x=

1

a

-1，
综上：当

1

2

＜a＜1时，g（x）的极值点为x=1，极大值点x=

1

a

-1；
当a=

1

2

时，g（x）无极值点为x=1，极小值点x=

1

a

-1；
当0＜a＜

1

2

时，g（x）的极大值点为x=1，极小值点x=

1

a

-1；

点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，还考查了分类讨论的思想，这是高考的热点问题；