Question

已知A={x|x²+6x+8≤0}，B={x|kx²+（2k-4）x+k-4＞0，x∈R}，若A∪B=B，求k的取值范围．

Answer 1

分析：求出A中不等式的解集确定出A，B中的不等式分k=0，k＞0，k＜0三种情况表示出解集，由A与B的并集为B，得到A为B的子集，即可确定出k的范围．

解答：解：由A中的不等式x²+6x+8≤0，即（x+2）（x+4）≤0，
解得：-4≤x≤-2，即A=[-4，-2]；
集合B中，当k=0时，代入不等式得：-4x-4＞0，
解得：x＜-1，即B=（-∞，-1），满足A∪B=B；
当k＞0时，不等式变形为（kx+k-4）（x+1）＞0，
可得-

k-4

k

=-1+

4

k

＞-1时，此时解集为x＞-

k-4

k

或x＜-1，
∵A∪B=B，
∴A⊆B，满足题意；
当k＜0时，-

k-4

k

=-1+

4

k

＜-1，此时解集为x＞-1或x＜-

k-4

k

，
∵A∪B=B，
∴A⊆B，
∴-

k-4

k

＞-2，即k-4＞2k，
解得：k＜-4，
则满足题意k的范围为k＜-4或k≥0．

点评：此题考查了并集及其运算，利用了分类讨论的思想，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．