Question

如果函数f（x）同时满足下列条件：①在闭区间[a，b]内连续，②在开区间（a，b）内可导且其导函数为f′（x），那么在区间（a，b）内至少存在一点ξ（a＜ξ＜b），使得f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）成立，我们把这一规律称为函数f（x）在区间（a，b）内具有“Lg”性质，并把其中的ξ称为中值．有下列命题：
①若函数f（x）在（a，b）具有“Lg”性质，ξ为中值，点A（a，f（a）），B（b，f（b）），则直线AB的斜率为f′（ξ）；
②函数y=

2- x2 2

在（0，2）内具有“Lg”性质，且中值ξ=

2

，f′（ξ）=-

2

2

；
③函数f（x）=x³在（-1，2）内具有“Lg”性质，但中值ξ不唯一；
④若定义在[a，b]内的连续函数f（x）对任意的x₁、x₂∈[a，b]，x₁＜x₂，有

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＜f（

x1+x2

2

）恒成立，则函数f（x）在（a，b）内具有“Lg”性质，且必有中值ξ=

x1+x2

2

．
其中你认为正确的所有命题序号是

 

．

Answer 1

分析：对每一个命题进行逐一判定是否满足函数f（x）在区间（a，b）内具有“Lg”性质，对于①根据导函数的几何意义进行判定，对于②，函数y在（0，2）上连续且可导，代值计算可得两端点连线的斜率存在x=

2

时的导数值与之相等，对于③，举反例进行判定即可，对于④，只能保证f（x）是上凸函数，不能保证中值一定在中点处进行判定．

解答：解：对于①，根据导函数的几何意义立即可得正确；
对于②，函数y在（0，2）上连续且可导，代值计算可得两端点连线的斜率为-

2

2

又y'=

1

2

(2-

x2

2

)-

1

2

(-x)，当x=

2

时，y'=-

2

2

，故②正确．
对于③，两端点连线斜率为3
而f'（x）=3x²，令3x²=3，x=±1，在（-1，2）内只有一个中值ξ=1，故③错误；
对于④，

1

2

[f（x₁）+f（x₂）]＜f（

x1+x2

2

）只能保证f（x）是上凸函数，不能保证中值一定在中点处．④错误
故答案为：①②

点评：本题题意比较新颖，主要考查了导数的几何意义，以及函数恒成立问题和直线的斜率，属于中档题．