Question

（2013•宁波二模）设函数f（x）=lnx+ax²-（3a+1）x+（2a+1），其中a∈R．
（Ⅰ）如果x=1是函数f（x）的一个极值点，求实数a的值及f（x）的最大值；
（Ⅱ）求实数a的值，使得函数f（x）同时具备如下的两个性质：
①对于任意实数x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，

f(x1)+f(x2)

2

＜f(

x1+x2

2

)恒成立；
②对于任意实数x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，

f(x1)+f(x2)

2

＞f(

x1+x2

2

)恒成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函数的定义域、导数f′（x），由题意f'（1）=0，解出可得a值，在定义域内解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0，可得f（x）的单调性，根据单调性可得其最大值；
（Ⅱ）令F(x1，x2)=

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)=

a

4

(x1-x2)2-

1

2

ln(

(x1+x2)2

4x1x2

)，由（Ⅰ）中的结论可得对任意x∈（0，1）∪（1，+∞），lnx＜x-1（*）恒成立．（ⅰ）如果x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂，则

(x1+x2)2

4x1x2

=1+

(x1-x2)2

4x1x2

＞1．根据（*）可得ln(

(x1+x2)2

4x1x2

)＜

(x1-x2)2

4x1x2

，F(x1，x2)＞

a

4

(x1-x2)2-

1

2

•

(x1-x2)2

4x1x2

．由性质①转化为恒成立问题，可得a的范围；（ⅱ）如果x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，则0＜

4x1x2

(x1+x2)2

=1-

(x1-x2)2

(x1+x2)2

＜1．再根据（*）进行放缩，由性质②可得恒成立问题，由此可得a的范围，综合（i）（ii）可得a的范围；

解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′(x)=

1

x

+2ax-(3a+1)，
依题意，f'（1）=1+2a-（3a+1）=0，解得a=0．   
此时，f（x）=lnx-x+1，f′(x)=

1

x

-1=

1-x

x

．
因为x∈（0，+∞），令f'（x）＞0，可得x∈（0，1）；令f'（x）＜0，可得x∈（1，+∞）．
所以，函数f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减． 
因此，当x=1时，f（x）取得最大值f（1）=0．    
（Ⅱ）令F(x1，x2)=

f(x1)+f(x2)

2

-f(

x1+x2

2

)
=

1

2

(lnx1+lnx2)-ln(

x1+x2

2

)+

a

2

(

x

2 1

+

x

2 2

)-a(

x1+x2

2

)2=

a

4

(x1-x2)2-

1

2

ln(

(x1+x2)2

4x1x2

)，
由（Ⅰ）中的结论可知，lnx-x+1＜0对任意x∈（0，1）∪（1，+∞）恒成立，即lnx＜x-1（*）恒成立．                    
（ⅰ）如果x₁，x₂∈（0，1），且x₁≠x₂，则

(x1+x2)2

4x1x2

=1+

(x1-x2)2

4x1x2

＞1．
根据（*）可得ln(

(x1+x2)2

4x1x2

)＜

(x1-x2)2

4x1x2

，F(x1，x2)＞

a

4

(x1-x2)2-

1

2

•

(x1-x2)2

4x1x2

．
若f（x）满足性质①，则

a

4

(x1-x2)2-

1

2

•

(x1-x2)2

4x1x2

＜F(x1，x2)＜0恒成立，
于是

a

4

＜

1

8x1x2

对任意x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂恒成立，所以a≤

1

2

．
（ⅱ）如果x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂，则0＜

4x1x2

(x1+x2)2

=1-

(x1-x2)2

(x1+x2)2

＜1．
根据（*）可得ln(

4x1x2

(x1+x2)2

)＜-

(x1-x2)2

(x1+x2)2

?ln(

(x1+x2)2

4x1x2

)＞

(x1-x2)2

(x1+x2)2

，
则F（x₁，x₂）＜

a

4

(x1-x2)2-

1

2

•

(x1-x2)2

(x1+x2)2

．若f（x）满足性质②，则

a

4

(x1-x2)2-

1

2

•

(x1-x2)2

(x1+x2)2

＞F(x1，x2)＞0恒成立．
于是

a

4

＞

1

2(x1+x2)2

对任意x₁，x₂∈（1，+∞）且x₁≠x₂恒成立，所以a≥

1

2

．
综合（ⅰ）（ⅱ）可得，a=

1

2

．

点评：本题考查利用导数研究函数的极值、最值问题，考查恒成立问题，考查学生综合运用知识分析解决问题的能力，解决（Ⅱ）问的关键是借助（Ⅰ）中的结论得到恰当不等式．