Question

设F₁、F₂分别为椭圆C：的左、右两个焦点，椭圆C上一点P（1，）到F₁、F₂两点的距离之和等于4．又直线l：y=x+m与椭圆C有两个不同的交点A、B，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）若直线l经过点F₁，求△ABF₂的面积；
（Ⅲ）求的取值范围．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题设可知，椭圆的焦点在x轴上，且2a=4，即a=2． （1分）
又点A（1，）在椭圆上，∴，解得b²=3．（2分）
∴椭圆C的标准方程是． （3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，c²=a²-b²=1，即c=1，
∴F₁、F₂两点的坐标分别为（-1，0）、（1，0）． （4分）
∵直线l：y=x+m经过点F₁（-1，0），
∴0=×（-1）+m，∴m=． （5分）
设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），由题意，有
，消去x，整理得16y²-12y-9=0，
∴y₁+y₂=，y₁y₂=-． （6分）
设△ABF₂的面积为S_ABF2，则
S_ABF2=|F₁F₂||y₂-y₁|=×2=
（Ⅲ）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则由题意，有
，消去y，整理得x²+mx+m²-3=0 ①
x₁+x₂=-m，x₁x₂=m²-3．
∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=x₁x₂+（x₁+x₂）m+m²
=（m²-3）+（-m）m+m²=m²-． （10分）
∴=x₁x₂+y₁y₂=m²-3+m²-=m²-，（11分）
又由①得，△=m²-4（m²-3）=-3m²+12，
∵A、B为不同的点，∴△＞0，∴0≤m²＜4．
∴-≤．
∴的取值范围是[-，）． （14分）
分析：（Ⅰ）由题设可知，椭圆的焦点在x轴上，求出a=2，又点A（1，）在椭圆上，解得b，最后写出椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，F₁、F₂两点的坐标；直线l：y=x+m经过点F₁求得m，设A、B两点的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用弦长公式即可求得△ABF₂的面积，从而解决问题．
（Ⅲ）设A、B的坐标分别为（x₁，y₁）、（x₂，y₂），将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用向量的数量积坐标公式即可求得求的取值范围．
点评：本小题主要考查椭圆的标准方程、平面向量数量积的运算、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．