Question

若x₁，x₂是关于x的方程x²-（2k+1）x+k²+1=0的两个实数根，且x₁，x₂都大于1．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若

x1

x2

=

1

2

，求k的值．

Answer 1

分析：（1）由已知中关于x的方程有两个大于1的根，则△≥0，我们构造二次函数f（x），可得f（1）＞0，且对称轴在1的右侧，由此构造关于k的不等式组，解不等式组，即可得到k的取值范围．
（2）根据方程的根与系数的关系写出把两根之间的关系写出代入，然后可以得到关于k的方程组，求出k的值．

解答：解：（1）∵方程x²-（2k+1）x+k²+1=0的两个根大于1，
令f（x）=x²-（2k+1）x+k²+1
∴△=4k-3≥0，

2k+1

2

＞1
f（1）＞0
解得

3

4

≤k＜1或k＞1
（2）∵

x1

x2

=

1

2

，
∴2x₁=x₂，①
x₁+x₂=2k+1，②
x₁•x₂=k²+1     ③
把①代入②③整理得
3x₁=2k+1，
2x₁²=k²+1
得k=7或k=1（舍去）．

点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，其中构造二次函数，利用函数的性质解答本题是整个解答过程的关键．