【题目】已知函数,
.
(1)对任意的,
成立,求实数
的取值范围;
(2)若,证明:
.
【答案】(1) ;(2)见解析.
【解析】
(1)解法一:构造函数,求出
及
,然后分类讨论。
解法二:当时,
恒成立;当
时,通过分离得到
,令
,转化为求
在
的最小值。
(2)由分析法要证,即证:
继而由(1)的解法二知:
在
时恒有
,得证.
(1)解法一:令,
,
①当时,对于任意的
,
,
在
为增函数,
,
在
为增函数,
,即
,
恒成立,满足.
②当时,令
,得
则当时,
为减函数,此时
,
故函数为减函数,
,
即当时,有
,矛盾.
综上,实数的取值范围是:
.
解法二:当时,
恒成立;
当时,
即为
,
转化为求在
的最小值,
,令
,
,
由知:
在
为增函数,
故在
为增函数,
即,函数
在
为增函数,故
没有最小值.
又由诺必达法则知:
,故
.
(2)证明:要证,即证:
,
,
,故即证:
,左边分子分母同除以
,
即证:
令,则
,即证
,即证:
.
而由(1)的解法二知:在
时恒有
,得证.
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【题目】已知平面内一动点(
)到点
的距离与点
到
轴的距离的差等于1,
(1)求动点的轨迹
的方程;
(2)过点的直线
与轨迹
相交于不同于坐标原点
的两点
,求
面积的最小值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知城市周边有两个小镇
、
,其中乡镇
位于城市
的正东方
处,乡镇
与城市
相距
,
与
夹角的正切值为2,为方便交通,现准备建设一条经过城市
的公路
,使乡镇
和
分别位于
的两侧,过
和
建设两条垂直
的公路
和
,分别与公路
交汇于
、
两点,以
为原点,
所在直线为
轴,建立如图所示的平面直角坐标系
.
(1)当两个交汇点、
重合,试确定此时
路段长度;
(2)当,计算此时两个交汇点
、
到城市
的距离之比;
(3)若要求两个交汇点、
的距离不超过
,求
正切值的取值范围.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知抛物线的焦点为
,
,
是抛物线上的两个动点,且
,过
,
两点分别作抛物线的切线,设其交点为
.
(1)若直线与
,
轴分别交于点
,
,且
的面积为
,求
的值;
(2)求的值.
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【题目】为了解某校今年高三毕业班报考飞行员学生的体重情况,将所得的数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右的前三组的频率之比为1:2:3,其中体重在的有5人.
(1)求该校报考飞行员的总人数;
(2)从该校报考飞行员的体重在学生中任选3人,设
表示体重超过70
的学生人数,求
的分布列和数学期望.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线
的参数方程为
(
为参数),以坐标原点
为极点,以
轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
.
(1)求直线的普通方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于
两点,设点
,已知
,求实数
的值.
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【题目】某教师将寒假期间该校所有学生阅读小说的时间统计如下图所示,并统计了部分学生阅读小说的类型,得到的数据如下表所示:
男生 | 女生 | |
阅读武侠小说 | 80 | 30 |
阅读都市小说 | 20 | 70 |
(1)是否有99.9%的把握认为“性别”与“阅读小说的类型”有关?
(2)求学生阅读小说时间的众数和平均数(同一组数据用该组区间的中点值作代表);
(3)若按照分层抽样的方法从阅读时间在、
的学生中随机抽取6人,再从这6人中随机挑选2人介绍选取小说类型的缘由,求所挑选的2人阅读时间都在
的概率.
附:,
.
0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【题目】十九大以来,某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求,带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康。经过不懈的奋力拼搏,新农村建设取得巨大进步,农民年收入也逐年增加。为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收人力争早日脱贫的工作计划,该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收人并制成如下频率分布直方图:
(1)根据频率分布直方图,估计50位农民的年平均收入(单位:千元)(同一组数据用该组数据区间的中点值表示);
(2)由频率分布直方图,可以认为该贫困地区农民年收入服从正态分布
,其中
近似为年平均收入
,
近似为样本方差
,经计算得
.利用该正态分布,求:
(i)在2019年脱贫攻坚工作中,若使该地区约有占总农民人数的的农民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准,则最低年收入大约为多少千元?
(ii)为了调研“精准扶贫,不落一人”的政策要求落实情况, 扶贫办随机走访了1000位农民。若每个农民的年收人相互独立,问:这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少?
附:参考数据与公式,若
~
,则①
;②
;③
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数的最大值为
,其图像相邻两条对称轴之间的距离为
,且
的图像关于点
对称,则下列判断正确的是()
A. 函数在
上单调递增
B. 函数的图像关于直线
对称
C. 当时,函数
的最小值为
D. 要得到函数的图像,只需要
将的图像向右平移
个单位
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