Question

（本题满分12分)若函数对任意的，恒有.当时，恒有.

（1）判断函数的奇偶性，并证明你的结论；

（2）判断函数的单调性，并证明你的结论；

（3）若，解不等式.

 

Answer 1

（1）为奇函数，证明详见解析；（2）为上的减函数，证明详见解析；（3）解集为：.

【解析】

试题分析：（1）抽象函数奇偶性的判断更要紧扣定义，用好所取的特殊值，及它们之间的特殊关系，如取一些特殊值，，等，问题往往就有所突破；（2）抽象函数单调性的判断也要紧扣定义，用好已知条件中的不等关系；（3）解抽象不等式主要是运用抽象函数本身的单调性，这里是运用（2）得出的结论来解题.

试题解析：（1）令，可知，解得

又，移项，，所以为奇函数；

（2）设，且，则，由已知条件知，从而，即，对照定义知：为上的减函数；

（3）由已知条件知，又，所以原不等式可化为，又因为为上的减函数，所以，解得，即原不等式的解集为：.

考点：抽象函数性质的研究及运用.