Question

如图，在底面是正方形的四棱锥P-ABCD中，PA=AC=2，PB=PD=

6

，点E在PD上，且PE：ED=2：1．
（I）在棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？证明你的结论；
（II）求二面角P-AC-E的平面角的大小．

Answer 1

分析：（I）F是棱PC的中点，连接BM、BD，设BD∩AC=O，利用平面BFM∥平面AEC，证明BF∥平面AEC；
（II）作EG∥PA交AD于G，由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，∠EHG即为EAC与DAC为面的二面角的平面角，利用二面角P-AC-E的平面角的大小为EAC与DAC为面的二面角的平面角的余角
，即可得到结论．

解答：解：（I）当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC，证明如下，
取PE的中点M，连接FM，则FM∥CE．①
由EM=

1

2

PE=ED，知E是MD的中点．
连接BM、BD，设BD∩AC=O，则O为BD的中点．
所以BM∥OE．②
由①、②知，平面BFM∥平面AEC．
又BF?平面BFM，所以BF∥平面AEC．
（II）作EG∥PA交AD于G，
由PA⊥平面ABCD，知EG⊥平面ABCD．
作GH⊥AC于H，连接EH，则EH⊥AC，∠EHG即为EAC与DAC为面的二面角的平面角．
又PE：ED=2：1，所以EG=

2

3

，AG=

4

3

，
GH=AGsin60°=

2 3

3

．
从而tanθ=

EG

GH

=

3

3

，∴θ=30°．
∵PA=AC=2，PB=PD=

6

，
∴PA⊥AB，PA⊥AD
∵AB∩AD=A
∴PA⊥平面ABCD
∴平面PAC⊥平面ABCD
∴二面角P-AC-E的平面角的大小为EAC与DAC为面的二面角的平面角的余角
∴二面角P-AC-E的平面角的大小为60°

点评：本题考查直线与平面平行的判定，二面角的求法，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，转化思想，是中档题．