已知椭圆的离心率为其左.右焦点分别为.点P是坐标平面内一点.且. (1)求椭圆C的方程, (2)过点且斜率为k的动直线交椭圆于A.B两点.在y轴上是否存在定点M.使以AB为直径的圆恒过这个点?若存在.求出M的坐标,若不存在.说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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（本小题满分14分）

已知椭圆的离心率为其左、右焦点分别为，点P是坐标平面内一点，且（O为坐标原点）。

（1）求椭圆C的方程；

（2）过点且斜率为k的动直线交椭圆于A、B两点，在y轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由。

解：（1）设

则由₁_分

由得₂_分

即

所以c=1 3分

又因为 5分

因此所求椭圆的方程为： 6分

（2）动直线的方程为：

由得₈_分

设

则 9分

假设在y上存在定点M（0，m），满足题设，则

₁₁_分

由假设得对于任意的恒成立，

即解得m=1。 13分

因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，

点M的坐标为（0，1） 14分

（另解令K＝0 代入得m＝1 或m＝，把其都代入。其中m＝1时恒成立；m＝时不恒成立。因此，在y轴上存在定点M，使得以AB为直径的圆恒过这个点，点M的坐标为（0，1））

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