Question

在一条笔直的工艺流水线上有n个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x₁，x₂，…，x_n，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（Ⅰ）若n=3，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（Ⅱ）若n=5，工作台从左到右的人数依次为3，2，1，2，2，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．

Answer 1

分析：设供应站坐标为x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）．
对于（1）由题意有d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+|x-x₃|然后对x的范围进行讨论分析，知当x=x₂时，所有工人到供应站的距离之和最短．
对于（2）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）=3|x-x₁|+2|x-x₂|+|x-x₃|+2|x-x₄|+2|x-x₅|．对x的取值范围进行分类讨论，判断最佳的位置．

解答：解：设供应站坐标为x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）．
（Ⅰ）d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+|x-x₃|．（2分）
当x＜x₁时，d（x）=x₁+x₂+x₃-3x在区间（-∞，x₁）上是减函数；
当x＞x₃时，d（x）=3x-（x₁+x₂+x₃）在区间（x₃，+∞）上是增函数．（4分）
所以，x必须位于区间[x₁，x₃]内，此时d（x）=x₃-x₁+|x-x₂|（*），
当且仅当x=x₂时，（*）式取最小值，且d（x₂）=x₃-x₁，即供应站的位置为x=x₂．（7分）
（Ⅱ）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）
=3|x-x₁|+2|x-x₂|+|x-x₃|+2|x-x₄|+2|x-x₅|．（8分）
类似于（Ⅰ）的讨论知，x₁≤x≤x₅，且有d ( x )=

2x2+x3+2x4+2x5-3x1-4x  x1≤x＜x2  x3+2x4+2x5-3x1-2x2         x2≤x＜x3  2x+2x4+2x5-3x1-2x2-x3  x3≤x＜x4  6x+2x5-3x1-2x2-x3-2x4  x4≤x≤x5

（11分）
所以，函数d（x）在区间（x₁，x₂）上是减函数，在区间（x₃，x₅）上是增函数，在区间[x₂，x₃]上是常数．故供应站位置位于区间[x₂，x₃]上任意一点时，均能使函数d（x）取得最小值，且最小值为x₃+2x₄+2x₅-3x₁-2x₂，x₂≤x≤x₃．（13分）

点评：本题主要考查将实际问题转化为数学问题的能力，以及综合运用函数知识解决问题的能力，在求最值的过程中，由于本题是绝对值函数，故需分类去绝对值号．