Question

在一条笔直的工艺流水线上有个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为，，，，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．

（Ⅰ）若，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；

（Ⅱ）若，工作台从左到右的人数依次为，，，，，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）设供应站坐标为，根据两点间距离最短，列出各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为,然后分段讨论，去掉绝对值符号，化为分段函数，求函数取最小值满足的条件即可.（Ⅱ）同（Ⅰ）首先列出各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为 ，然后分段讨论，去掉绝对值符号，化为分段函数，求函数取最小值满足的条件即可.

【解析】

试题分析：设供应站坐标为，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为．

（Ⅰ）       2分

当时，在区间上是减函数；

当时，在区间上是增函数．

则当时，式取最小值，即供应站的位置为内的任意一点．     分

（Ⅱ）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为

．          7分

类似于（Ⅰ）的讨论知，，且有

           分

所以，函数在区间上是减函数，在区间上是增函数，在区间上是常数．故供应站位置位于区间上任意一点时，均能使函数取得最小值，且最小值为．               13分

考点:综合运用函数知识解决实际问题的能力