Question

（2011•松江区二模）已知函数①f（x）=lnx；②f（x）=cosx；③f（x）=e^x；④f（x）=e^cosx．其中对于f（x）定义域内的任意一个x₁都存在唯一个x₂，使f（x₁）f（x₂）=1成立的函数是

③

．（写出所有满足条件的函数的序号）

Answer 1

分析：由题意知若使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函数一定是单调函数，②④不是单调函数，不合题意．因为对于函数f（x）=lnx当x₁=1时，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立．得到结果．

解答：解：由题设知，对于f（x）定义域内的任意一个自变量x₁，
存在定义域内的唯一一个自变量x₂，
使得f（x₁）f（x₂）=1成立的函数一定是单调函数，②④不是单调函数，不合题意．
因为对于函数f（x）=lnx当x₁=1时，不存在x₂使得f（x₁）f（x₂）=1成立，
∴由此可知，满足条件的函数有③．
故答案为：③．

点评：本题考查函数的单调性及函数的特殊点的值，本题解题的关键是看出函数的单调性，并且注意函数自变量特殊值的性质，本题是一个中档题目．