Question

求函数y=log_a（x-x²）（a＞0，a≠1）的定义域、值域、单调区间．

Answer 1

分析：（1）对数的真数大于0，通过x-x²＞0求解函数的定义域．
（2）先求0＜x-x²的范围，然后按照0＜a＜1，a＞1两种情况求解．
（3）按照0＜a＜1，a＞1两种情况讨论，先将原函数分解为两个基本函数，利用复合函数的单调性求解．

解答：解：（1）由x-x要使函数有意义，必须，x-x²＞0得0＜x＜1，
所以函数y=log_a（x-x²）的定义域是（0，1）（2分）
（2）因为0＜x-x²=-(x-

1

2

)2+

1

4

≤

1

4

，
所以，当0＜a＜1时，loga(x-x2)≥loga

1

4

函数y=log_a（x-x²）的值域为 [loga

1

4

，+∞)；（5分）
当a＞1时，loga(x-x2)≤loga

1

4

函数y=log_a（x-x²）的值域为 (-∞，loga

1

4

]（8分）
（3）当0＜a＜1时，函数y=log_a（x-x²）
在 (0，

1

2

]上是减函数，在 [

1

2

，1)上是增函数；（10分）
当a＞1时，函数y=log_a（x-x²）
在 (0，

1

2

]上是增函数，在 [

1

2

，1)上是减函数．（12分）

点评：本题主要考查：研究复合函数的基本思路，先定义域，再求分解为两个基本函数，然后利用复合函数的单调性求解．注意分类讨论思想的应用．