Question

若二次函数y=ax²+bx+c的顶点为（

1

2

，25），与x轴交于两点，且这两点的横坐标的立方和为19，则这个二次函数的表达式为

y=-4x²+4x+24

．

Answer 1

分析：利用顶点式设出方程，再化为一般式，利用两点的横坐标的立方和为19，可求二次项的系数，从而可得函数的解析式．

解答：解：∵二次函数y=ax²+bx+c的顶点为（

1

2

，25），
∴y=a（x-

1

2

）²+25=ax²-ax+

a

4

+25
令y=0，设二次函数与x轴交点的横坐标为x₁，x₂，则x₁+x₂=1，x₁x₂=

1

4

+

25

a

∴x₁³+x₂³=（x₁+x₂）（x₁²+x₂²-x₁x₂）=1-3（

1

4

+

25

a

）=19
∴a=-4
∴二次函数的表达式为y=-4x²+4x+24
故答案为：y=-4x²+4x+24

点评：本题考查函数解析式的求解，正确设出函数的解析式，利用韦达定理是关键．