Question

13．已知数列{a_n}满足a₁=5，（n²+3n）a_n+1=（n²+3n+2）a_n，则a_n=$\frac{15n}{n+2}$．

Answer 1

分析 通过（n²+3n）a_n+1=（n²+3n+2）a_n变形、可知$\frac{\frac{{a}_{n+1}}{n+1}}{\frac{{a}_{n}}{n}}$=$\frac{n+2}{n+3}$，利用累乘法计算即得结论．

解答 解：∵（n²+3n）a_n+1=（n²+3n+2）a_n，
∴$\frac{\frac{{a}_{n+1}}{n+1}}{\frac{{a}_{n}}{n}}$=$\frac{n+2}{n+3}$，
∴$\frac{\frac{{a}_{n}}{n}}{\frac{{a}_{n-1}}{n-1}}$=$\frac{n+1}{n+2}$，
$\frac{\frac{{a}_{n-1}}{n-1}}{\frac{{a}_{n-2}}{n-2}}$=$\frac{n}{n+1}$，
…
$\frac{\frac{{a}_{2}}{2}}{\frac{{a}_{1}}{1}}$=$\frac{3}{4}$，
累乘得：$\frac{\frac{{a}_{n}}{n}}{\frac{{a}_{1}}{1}}$=$\frac{3}{n+2}$，
又∵a₁=5，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=$\frac{15}{n+2}$，
∴a_n=$\frac{15n}{n+2}$，
故答案为：$\frac{15n}{n+2}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．