Question

函数f（x）=

7

3

x3-

a+13

2

x2+(a2-a-2)x，在x₁，x₂处有极值f（x₁），f（x₂），其中x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）．
（Ⅰ）证明：f（x₁）为f（x）的极大值，f（x₂）为f（x）的极小值；
（Ⅱ）求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求导函数，然后根据f（x）在x₁，x₂处有极值f（x₁），f（x₂）则f'（x₁）=f'（x₂）=0，然后判断在x₁，x₂处左右的导数符号，从而证得结论；
（Ⅱ）根据根的分布可得

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

，从而可求出实数a的取值范围．

解答：解：（Ⅰ）由已知得f'（x）=7x²-（a+13）x+a²-a-2…（2分）
又f（x）在x₁，x₂处有极值f（x₁），f（x₂）⇒f'（x₁）=f'（x₂）=0
可得  f'（x）=7（x-x₁）（x-x₂）…（4分）
又x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）
∴当x∈（0，x₁）或x∈（x₂，2）时，f'（x）＞0；当x∈（x₁，x₂）时，f'（x）＜0，即

	（0，x1）	x1	（x1，x2）	x2	（x2，2）
f'（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	极大值f（x1）	↘	极小值f（x2）	↗

所以f（x₁）为f（x）的极大值，f（x₂）为f（x）的极小值．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）∵x₁∈（0，1），x₂∈（1，2）∴

f′(0)＞0 f′(1)＜0 f′(2)＞0

…（9分）
⇒

a＞2或a＜-1 -2＜a＜4 a＞3或a＜0

…（12分）
∴a的取值范围{a|-2＜a＜-1，3＜a＜4}．…（13分）

点评：本题主要考查函数取极值的条件，以及根的分布问题，同时考查了分析问题的能力和运算求解的能力，属于中档题．