Question

已知函数f（x）=

1

3

x3+ax²+bx，a，b∈R
（1）曲线C：y=f（x）经过点P（1，2），且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，求a，b的值；
（2）在（1）的条件下试求函数g（x）=m[f（x）-

7

3

x]（m∈R，m≠0）的极小值．

Answer 1

分析：（1）y=f（x）经过点P（1，2），则点P的坐标适合函数解析式，再根据曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，可知f^′（1）=2，联立后可求解a，b的值；
（2）把（1）中求得的a，b代入函数解析式，再把f（x）代入g（x）后求导函数，分类讨论m后，根据导函数在不同区间内的符号判断单调性，从而求出函数的极小值．

解答：解：（1）由f（x）=

1

3

x3+ax²+bx，得：f^′（x）=x²+2ax+b，
因为y=f（x）经过点P（1，2），且曲线C在点P处的切线平行于直线y=2x+1，
所以，

f(1)= 1 3 +a+b=2 f′(1)=1+2a+b=2

，解得：

a=- 2 3 b= 7 3

．
所以a=-

2

3

，b=

7

3

．
（Ⅱ）由（1）知f(x)=

1

3

x3-

2

3

x2+

7

3

x，
则g（x）=m[

1

3

x3-

2

3

x2+

7

3

x-

7

3

x]
=

m

3

(x3-2x2)．
g′(x)=mx(x-

4

3

)，
当m＞0时，g^′（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上大于0，在（0，

4

3

）上小于0，
所以，g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上递增，在（0，

4

3

）上递减，
所以g（x）的极小值为g（

4

3

）=

m

3

[(

4

3

)3-2×(

4

3

)2]=-

32

81

m；
当m＜0时，g^′（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上小于0，在（0，

4

3

）上大于0，
g（x）在（-∞，0），（

4

3

，+∞）上递减，在（0，

4

3

）上递增，
所以g（x）的极小值为g（0）=0．

点评：本题主要考查函数、导数知识及其应用，考查运算求解能力及抽象概括能力，考查函数与方程、分类与整合、数形结合、化归与转化等思想方法，此题是中档题．