Question

欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m，求河宽．欲测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸的标记物C，测得∠CAB=45°，∠CBA=75°，AB=120m，求河宽．

Answer 1

分析：由三角形内角和定理算出C=180°-A-B=60°，在△ABC中由正弦定理

AB

sinC

=

BC

sinA

的式子解出BC=40

6

，最后利用三角形面积公式进行等积变换，即可算出题中所求的河宽为（60+20

3

）m．

解答：解：由题意，可得
C=180°-A-B=180°-45°-75°=60°
∵在△ABC中，由正弦定理得

AB

sinC

=

BC

sinA

∴BC=

ABsinA

sinC

=

120×sin45°

sin60°

=40

6

又∵△ABC的面积满足S_△ABC=

1

2

AB•BCsinB=

1

2

AB•h
∴AB边的高h满足：h=BCsinB=40

6

×

6 + 2

4

=（60+20

3

）m
即题中所求的河宽为（60+20

3

）m．

点评：本题给出实际应用问题，求河的宽度．着重考查了三角形内角和定理、正弦定理解三角形和三角形的面积公式等知识，属于中档题．