Question

设x，y∈R，、，为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量=x+（y+2），=x+（y-2），且||+||=8．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点．设=+，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据向量模的公式以及坐标系内两点间的距离公式，可得动点M（x，y）到定点F₁（0，-2）、F₂（0，2）的距离之和等于8（常数），由此结合椭圆的定义得到M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，可得轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程为y=kx+3，将l方程与椭圆C消去y得关于x的方程，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及直线l方程得x₁+x₂=且y₁+y₂=．再根据平行四边形OAPB为菱形，得到||=||，利用向量模的公式化简结合前面的等式可得关于k的方程，解之得k=0．由此可得存在直线y=3使得四边形OAPB为菱形．
解答：解：（1）∵=x+（y+2），=x+（y-2）
∴||=，||=
设F₁（0，-2），F₂（0，2），动点M（x，y），可得||、||分别表示点M到F₁、F₂的距离．
∵||+||=8，即M到F₁、F₂的距离之和等于8，
∴点M（x，y）的轨迹C是以F₁（0，-2），F₂（0，2）为焦点，长轴长为8的椭圆，
可得a=4，c=2，b²=a²-c²=12，
可得椭圆方程为，即为点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）由于直线l过点（0，3），故
①当直线l为y轴时，A、B为椭圆的顶点，可得=+=
此时点P与原点重合，不符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由消去y，得（4+3k²）x²+18kx-21=0
此时△=（18k）²-4（4+3k²）•（-21）=576k²+336＞0恒成立
x₁+x₂=，代入直线得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+6=
∵=+，∴四边形OAPB是平行四边形，
若四边形OAPB是菱形，则||=||
∵=（x₁，y₁），=（x₂，y₂）
∴+=+，化简得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
 可得l的斜率k==-=-=-
解之得k=0，因此存在直线y=3，使得四边形OAPB为菱形．
点评：本题给出向量关系式，求动点M的轨迹方程并讨论菱形OAPB的存在性．着重考查了向量的坐标运算、椭圆的定义与标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．