Question

设x、y∈R，

i

、

j

为直角坐标平面内x、y轴正方向上的单位向量，

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，且|

a

|+|

b

|=8．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点，设

OP

=

OA

+

OB

，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB是矩形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据向量的表达式和|

a

|+|

b

|的值可推断出点M（x，y）到两个定点F₁（0，-2），F₂（0，2）的距离之和为8．根据椭圆的定义判断出其轨迹为椭圆，进而根据c和a，求得b，则椭圆方程可得．
（2）先看当直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点．根据

OP

=

OA

+

OB

=0可推断出P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．不可知直线的斜率一定存在，设出直线方程，和A，B的坐标，把直线方程与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x₁+x₂和x₁x₂的表达式，根据

OP

=

OA

+

OB

和矩形的性质判断出OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0．求得x₁x₂+y₁y₂=0，进而求得k．

解答：（1）解：∵

a

=xi+（y+2）j，

b

=xi+（y-2）j，且|

a

|+|

b

|=8，
∴点M（x，y）到两个定点F₁（0，-2），F₂（0，2）的距离之和为8．
c=2，a=4，则b=

16-4

=2

3

∴轨迹C为以F₁、F₂为焦点的椭圆，方程为

x2

12

+

y2

16

=1．

（2）∵l过y轴上的点（0，3），
若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点．
∵

OP

=

OA

+

OB

=0，
∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
∴直线l的斜率存在．设l方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由y=kx+3，

x2

12

+

y2

16

=1，消y得（4+3k²）x²+18kx-21=0．
此时，△=（18k²）-4（4+3k²）＞0恒成立且x₁+x₂=-

18k

4+3k2

，x₁x₂=-

21

4+3k2

．
∵

OP

=

OA

+

OB

，
∴四边形OAPB是平行四边形．若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，即

OA

•

OB

=0．
∵

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂），
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
即（1+k²）x₁x₂+3k（x₁+x₂）+9=0，
即（1+k²）•（-

21

4+3k2

）+3k•（-

18k

4+3k2

）+9=0，即k²=

5

16

，得k=±

5

4

．
∴存在直线l：y=±

5

4

x+3，使得四边形OAPB是矩形．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，