精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
设x,y∈R,
i
j
,为直角坐标平面内x轴,y轴正方向上的单位向量,若向量
a
=x
i
+(y+2)
j
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A、B两点.设
OP
=
OA
+
OB
,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB为菱形?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.
分析:(1)根据向量模的公式以及坐标系内两点间的距离公式,可得动点M(x,y)到定点F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和等于8(常数),由此结合椭圆的定义得到M的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆,可得轨迹C的方程;
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),直线l方程为y=kx+3,将l方程与椭圆C消去y得关于x的方程,得关于x的一元二次方程,利用根与系数的关系及直线l方程得x1+x2=
-18k
4+3k2
且y1+y2=
24
4+3k2
.再根据平行四边形OAPB为菱形,得到|
OA
|=|
OB
|,利用向量模的公式化简结合前面的等式可得关于k的方程,解之得k=0.由此可得存在直线y=3使得四边形OAPB为菱形.
解答:解:(1)∵
a
=x
i
+(y+2)
j
b
=x
i
+(y-2)
j

∴|
a
|=
x2+(y+2)2
,|
b
|=
x2+(y-2)2

设F1(0,-2),F2(0,2),动点M(x,y),可得|
a
|、|
b
|分别表示点M到F1、F2的距离.
∵|
a
|+|
b
|=8,即M到F1、F2的距离之和等于8,
∴点M(x,y)的轨迹C是以F1(0,-2),F2(0,2)为焦点,长轴长为8的椭圆,
可得a=4,c=2,b2=a2-c2=12,
可得椭圆方程为
y2
16
+
x2
12
=1
,即为点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)由于直线l过点(0,3),故
①当直线l为y轴时,A、B为椭圆的顶点,可得
OP
=
OA
+
OB
=
0

此时点P与原点重合,不符合题意;
②当直线l与x轴不垂直时,设方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2,y2
y=kx+3
y2
16
+
x2
12
=1
消去y,得(4+3k2)x2+18kx-21=0
此时△=(18k)2-4(4+3k2)•(-21)=576k2+336>0恒成立
x1+x2=
-18k
4+3k2
,代入直线得y1+y2=k(x1+x2)+6=
24
4+3k2

OP
=
OA
+
OB
,∴四边形OAPB是平行四边形,
若四边形OAPB是菱形,则|
OA
|=|
OB
|
OA
=(x1,y1),
OB
=(x2,y2
x12+y12=x22+y22,化简得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0
 可得l的斜率k=
y1-y2
x1-x2
=-
x1+x2
y1+y2
=-
-18k
4+3k2
24
4+3k2
=-
3k
4

解之得k=0,因此存在直线y=3,使得四边形OAPB为菱形.
点评:本题给出向量关系式,求动点M的轨迹方程并讨论菱形OAPB的存在性.着重考查了向量的坐标运算、椭圆的定义与标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识,属于中档题.
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源: 题型:

设x,y∈R,i,j为直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若a=(x+1)i+yj,b=(x-1)i+yj,|a|+|b|=4.
(I)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(II)过点(0,m)作直线l与曲线C交于A,B两点,若|
OA
+
OB
|=|
OA
-
OB
|,求m的取值范围.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设x,y∈R,
i
j
为直角坐标平面内x轴y轴正方向上的单位向量,若
a
=x
i
+(y+2)
j
b
=x
i
+(y-2)
j
,且|
a
|+|
b
|=8
(Ⅰ)求动点M(x,y)的轨迹C的方程;
(Ⅱ)设曲线C上两点AB,满足(1)直线AB过点(0,3),(2)若
OP
=
OA
+
OB
,则OAPB为矩形,试求AB方程.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

设x,y∈R,
i
j
是直角坐标平面内x,y轴正方向上的单位向量,若
a
=x
i
+(y+3)
j
b
=x
i
+(y-3)
j
|
a
|+|
b
|=6
,则点M(x,y)的轨迹是(  )

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•西山区模拟)设x,y∈R,
i
j
为直角坐标平面内x,y轴正方向上单位向量,若向量
a
=(x+
3
)
i
+y
j
b
=(x-
3
)
i
+y
j
,且|
a
|+|
b
|=2
6

(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)若直线L与曲线C交于A、B两点,若
OA
OB
=0
,求证直线L与某个定圆E相切,并求出定圆E的方程.

查看答案和解析>>

同步练习册答案