Question

设x，y∈R，

i

、

j

，为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量，若向量

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，且|

a

|+|

b

|=8．
（1）求点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）过点（0，3）作直线l与曲线C交于A、B两点．设

OP

=

OA

+

OB

，是否存在这样的直线l，使得四边形OAPB为菱形？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据向量模的公式以及坐标系内两点间的距离公式，可得动点M（x，y）到定点F₁（0，-2）、F₂（0，2）的距离之和等于8（常数），由此结合椭圆的定义得到M的轨迹是以F₁、F₂为焦点的椭圆，可得轨迹C的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线l方程为y=kx+3，将l方程与椭圆C消去y得关于x的方程，得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系及直线l方程得x₁+x₂=

-18k

4+3k2

且y₁+y₂=

24

4+3k2

．再根据平行四边形OAPB为菱形，得到|

OA

|=|

OB

|，利用向量模的公式化简结合前面的等式可得关于k的方程，解之得k=0．由此可得存在直线y=3使得四边形OAPB为菱形．

解答：解：（1）∵

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

∴|

a

|=

x2+(y+2)2

，|

b

|=

x2+(y-2)2

设F₁（0，-2），F₂（0，2），动点M（x，y），可得|

a

|、|

b

|分别表示点M到F₁、F₂的距离．
∵|

a

|+|

b

|=8，即M到F₁、F₂的距离之和等于8，
∴点M（x，y）的轨迹C是以F₁（0，-2），F₂（0，2）为焦点，长轴长为8的椭圆，
可得a=4，c=2，b²=a²-c²=12，
可得椭圆方程为

y2

16

+

x2

12

=1，即为点M（x，y）的轨迹C的方程；
（2）由于直线l过点（0，3），故
①当直线l为y轴时，A、B为椭圆的顶点，可得

OP

=

OA

+

OB

=

0

此时点P与原点重合，不符合题意；
②当直线l与x轴不垂直时，设方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=kx+3 y2 16 + x2 12 =1

消去y，得（4+3k²）x²+18kx-21=0
此时△=（18k）²-4（4+3k²）•（-21）=576k²+336＞0恒成立
x₁+x₂=

-18k

4+3k2

，代入直线得y₁+y₂=k（x₁+x₂）+6=

24

4+3k2

∵

OP

=

OA

+

OB

，∴四边形OAPB是平行四边形，
若四边形OAPB是菱形，则|

OA

|=|

OB

|
∵

OA

=（x₁，y₁），

OB

=（x₂，y₂）
∴x12+y12=x22+y22，化简得（x₁+x₂）（x₁-x₂）+（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
 可得l的斜率k=

y1-y2

x1-x2

=-

x1+x2

y1+y2

=-

-18k 4+3k2

24 4+3k2

=-

3k

4

解之得k=0，因此存在直线y=3，使得四边形OAPB为菱形．

点评：本题给出向量关系式，求动点M的轨迹方程并讨论菱形OAPB的存在性．着重考查了向量的坐标运算、椭圆的定义与标准方程和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．