Question

设x，y∈R，

i

，

j

为直角坐标平面内x轴y轴正方向上的单位向量，若

a

=x

i

+（y+2）

j

，

b

=x

i

+（y-2）

j

，且|

a

|+|

b

|=8
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程；
（Ⅱ）设曲线C上两点AB，满足（1）直线AB过点（0，3），（2）若

OP

=

OA

+

OB

，则OAPB为矩形，试求AB方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先令M（x，y），F₁（0，-2），F₂（0，2），把|

a

|+|

b

|转化为|

F1M

|+|

F2M

|，再利用|

a

|+|

b

|=8即可知道动点M（x，y）的满足椭圆定义，进而求出轨迹C的方程；
（Ⅱ）先把直线方程和椭圆方程联立，求出关于点A和点B的坐标的方程①，在利用OAPB为矩形转化为OA⊥OB既为

OA

•

OB

=0．把①式代入就可求直线AB的方程．

解答：解：（Ⅰ）令M（x，y），F₁（0，-2），F₂（0，2）
则

a

=

F1M

，

b

=

F2M

即|

a

|+|

b

|=|

F1M

|+|

F2M

|
即|

F1M

|+|

F2M

|=8
又∵|

F1F2

|=4=2C
∴c=2，a=4，b²=12（3分）
所求轨迹方程为

y2

16

+

x2

12

=1（6分）
（Ⅱ）由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为y=kx+3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
则

y=kx+3 y2 16 + x2 9 =1

?（3k²+4）x²+18kx-21=0（8分）
x₁+x₂=-

18k

3k2+4

，x₁•x₂=-

-21

3k2+4

y₁•y₂=（kx₁+3）•（kx₂+3）=k²x₁•x₂+3k（x₁+x₂）+9=

36-48k2

3k2+4

∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB?

OA

•

OB

=0（10分）
∴x₁•x₂+y₁•y₂=0得k=±

5

4

所求直线方程为y=±

5

4

x+3（12分）

点评：本题综合考查了直线与椭圆的位置关系以及向量垂直问题．在研究直线和圆锥曲线问题时，通常把直线方程和圆锥曲线方程联立，找到关于二者交点坐标的方程，再代入已知条件解题．