Question

设平面上P、Q两点的坐标分别是P=（cos）、Q，其中x．
（Ⅰ）求|PQ|的表达式；
（Ⅱ）记f（x）=|PQ|²-|PQ|，求函数f（x）的最小值和最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由两点间的距离公式，结合三角恒等变换公式化简得|PQ|=2|cosx|，再由x可得|PQ|=2cosx；
（II）由（I）的|PQ|表达式，得f（x）=4cos²x-2cosx=4（cosx-）²-，再由cosx∈[0，1]结合二次函数性质即可算出f（x）的最小值和最大值．
解答：解：（I）P=（cos）、Q，
∴|PQ|=
=
===2|cosx|
∵x，∴cosx＞0，可得|PQ|=2cosx…（6分）
（II）f（x）=|PQ|²-|PQ|=4cos²x-2cosx=4（cosx-）²-…（8分）
∵x，得cosx∈[0，1]
∴由二次函数性质知：当cosx=时，f（x）有最小值-
当cosx=1时，f（x）有最大值2…（12分）
点评：本题给出点含有三角函数坐标的形式，求|PQ|的表达式，并依此求f（x）=|PQ|²-|PQ|的最值．着重考查了三角恒等变换公式、两点间的距离公式和二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．