Question

已知f（x）为偶函数，且x＞0时，．
（1）判断函数f（x）在（0，∞）上的单调性，并证明；
（2）若f（x）在上的值域是，求a的值；
（3）求x∈（-∞，0）时函数f（x）的解析式．

Answer 1

（本小题满分14分）
解：（1）函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．
证明如下：
任取0＜x₁＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=
==．
∵0＜x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数.
（2）由（1）知函数f（x）在区间[，2]上是增函数，值域为[]，
∴f（）=，f（2）=2，
即，解得a=.
（3）设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），
∴f（-x）=．
又因为f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）==.
分析：（1）利用函数的单调性的定义进行判断和证明即可
（2）由（1）可知函数f（x）在区间[，2]上的单调性，结合单调性及已知函数的 值域可求a
（3）可设x∈（-∞，0），则-x∈（0，+∞），结合已知x＞0时的函数解析式及函数为偶函数可求
点评：本题综合考查了函数的单调性、函数的奇偶性及函数的值域等知识的综合应用，解题的关键是熟练掌握函数的基本知识