Question

14．如图所示，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA₁=AC=2，BC=1，E，F分别是A₁C₁，BC的中点．
（1）求证：直线AB⊥平面BCC₁B₁；
（2）求异面直线AE与C₁F所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）根据三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，侧棱垂直于底面，得到侧棱BB₁与AB垂直，再由AB⊥BC，且BC∩BB₁=B，即可得证；
（2）如图，取AC的中点G，连结C₁F，GF，易得AE∥C₁G，确定出∠GC₁F就是异面直线AE与C₁F所成的角，求出即可．

解答 （1）证明：在三棱柱ABC，A₁B₁C₁中，BB₁⊥底面ABC，
∴BB₁⊥AB，
又∵AB⊥BC，BC∩BB₁=B，
∴AB⊥平面B₁BCC₁；
（2）解：如图，取AC的中点G，连结C₁F，GF，易得AE∥C₁G，
∴∠GC₁F就是异面直线AE与C₁F所成的角，
由（1）可知直线AB⊥平面BCC₁B₁，
∴AB⊥C₁F，
又AB∥GF，
∴GF⊥C₁F，
在Rt△ABC中，根据勾股定理得：AB=$\sqrt{A{C}^{2}-B{C}^{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴GF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
又在Rt△CC₁G中，根据勾股定理得：C₁G=$\sqrt{C{G}^{2}+C{{C}_{1}}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∴sin∠GC₁F=$\frac{GF}{{C}_{1}G}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$，
则异面直线AE与C₁F所成的角的正弦值为$\frac{{\sqrt{15}}}{10}$．

点评 此题考查了异面直线及其所成的角，平面与平面垂直的判定，确定出异面直线所求的角是解本题的关键．