Question

设α为锐角，若cos（α+

π

4

）=

3

5

，求cos（2α+

π

6

）的值．

Answer 1

分析：由α的范围求出α+

π

4

的范围，根据cos（α+

π

4

）的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sin（α+

π

4

）的值，再利用二倍角的正弦、余弦函数公式求出sin2（α+

π

4

）与cos2（α+

π

4

）的值，原式中的角度变形后，利用两角和与差的余弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出值．

解答：解：∵α∈（0，

π

2

），∴α+

π

4

∈（

π

4

，

3π

4

），
∵cos（α+

π

4

）=

3

5

，∴sin（α+

π

4

）=

1-( 3 5 )2

=

4

5

，
∴sin2（α+

π

4

）=2sin（α+

π

4

）cos（α+

π

4

）=

24

25

，cos2（α+

π

4

）=2cos²（α+

π

4

）-1=-

7

25

，
则cos（2α+

π

6

）=cos[2（α+

π

4

）-

π

3

]=

1

2

cos2（α+

π

4

）+

3

2

sin2（α+

π

4

）=

1

2

×（-

7

25

）+

3

2

×

24

25

=

-7+24 3

50

．

点评：此题考查了两角和与差的余弦函数公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键．