Question

过直线l：y=x+9上的一点P作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为F₁（-3，0），F₂（3，0），则椭圆的方程为

 

．

Answer 1

分析：由题设条件知，直线l与椭圆切于点P，根据椭圆定义，化为在l上求一点P，使|PF₁|+|PF₂|为最小，用对称点法求之．

解答：解：设直线l上的占P（t，t+9），
取F₁（-3，0）关于l的对称点Q（-9，6），
根据椭圆定义，2a=|PF₁|+|PF₂|=|PQ|+|PF₂|≥|QF2| =

144+36

=6

5

，
当且仅当Q，P，F₂共线，即kPF2=kQF2，
即

t+9

t-3

=

6

-12

时，
上述不等式取等号，∴t=-5．
∴P（-5，4），
据c=3，a=3

5

，知a²=45，b²=36，
∴椭圆的方程为

x2

45

+

y2

36

=1．
故答案为

x2

45

+

y2

36

=1．

点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的灵活运用．