Question

若（x+1）⁵-x⁵=a+a₁（x+4）⁴x+a₂（x+1）³x²+a₃（x+1）²x³+a₄（x+1）x⁴，且a₁（i=0，1，…，4）是常数，则a₁+a₃=    ．

Answer 1

【答案】分析：分别求出等式左、右边展开式的常数项，列出方程求出a，分别求出等式左、右边展开式的一次项，列出方程求出a₁，分别求出等式左、右边展开式的二次项，列出方程求出a₂，分别求出等式左、右边展开式的三次项，列出方程求出a₃，求出a₁+a₃的值．
解答：解：据题意：（x+1）⁵-x⁵=a+a₁（x+4）⁴x+a₂（x+1）³x²+a₃（x+1）²x³+a₄（x+1）x⁴中，
左式=（x+1）⁵-x⁵=C₅x⁵+C₅¹x⁴+…+C₅⁵x-x⁵=C₅¹x⁴+C₅²x³+C₅³x²+C₅⁴x+1，
分析可得左式中常数项为1，右式中常数项为a，则a=1；
左式中x的1次项为5，右式中x的1次项为C₅¹，C₅¹=a₁即a₁=5
左式中x的2次项为C₅²，右式中x的2次项为C₄¹a₁+a₂，则C₅²=C₄¹a₁+a₂即4a₁+a₂=10
解可得，a₂=-10
左式中x的3次项为C₅³，右式中x的3次项为C₄²a₁+C₃¹a₂+a₃
则C₅³=C₄²a₁+C₃¹a₂+a₃即10=6a₁+3a₂+a₃
解可得a₃=10
所以a₁+a₃=15
故答案为15．
点评：本题考查二项式定理的应用，难点在于分析右式中x的n次方的系数．