Question

5．己知命题P：数f（x）=ax+1在区间（-∞，+∞）上单调递增．Q：对任意实数x都有x²-ax+4＞0恒成立，若“P或Q”为真，“P且Q”为假，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 首先，求解当命题P和命题Q为真命题时，相应的取值范围，然后，根据复合命题的真假，得到所给的命题一真一假，然后，分情况进行讨论完成．

解答 解：由命题p为真命题，得a＞0，
命题Q为真命题，得：
对任意实数x都有x²-ax+4＞0恒成立，
满足△=a²-16＜0，
∴-4＜a＜4，
∵若“P或Q”为真，“P且Q”为假，
∴命题p和命题Q一真一假，
当命题P为真命题，命题Q为假命题时，满足
$\left\{\begin{array}{l}{a＞0}\\{a≤-4或a≥4}\end{array}\right.$，∴a≥4，
当命题P为假命题，命题Q为真命题时，满足
$\left\{\begin{array}{l}{a≤0}\\{-4＜a＜4}\end{array}\right.$，∴-4＜a≤0，
∴实数a的取值范围（-4，0]∪[4，+∞）．

点评 本题重点考查了命题的真假判断、复合命题的真假判断、不等式和单调性等知识，属于中档题．