Question

设函数f（x）定义域为R，当x＞0时，f（x）＞1，且对任意x，y∈R，有f（x+y）=f（x）•f（y）．
（1）证明：f（0）=1；　　　　　
（2）证明：f（x）在R上是增函数；
（3）设集合A={（x，y）|f（x²）•f（y²）＜f（1）}，B={（x，y）|f（x+y+c）=1，c∈R}，若A∩B=φ，求c的取值范围．

Answer 1

（1）证明：设x=0，y=1得：f（0+1）=f（0）•f（1），即f（1）=f（0）•f（1）
∵f（1）＞1
∴f（0）=1
（2）证明：∵对x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，，有x₂-x₁＞0
∴f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁）中有f（x₂-x₁）＞1
由已知可，得当x₁＞0时，f（x₁）＞1＞0
当x₁=0时，f（x₁）=1＞0
当x₁＜0时，f（x₁）•f（-x₁）=f（x₁-x₁）=f（0）=1
又∵f（-x₁）＞1∴0＜f（x₁）＜1
故对于一切x₁∈R，有f（x₁）＞0
∴f（x₂）=f（x₁）•f（x₂-x₁）＞f（x₁），故命题得证．
（3）解 由f（x²+y²）＜f（1），则由单调性知x²+y²＜1．
由f（x+y+c）=f（0）=1和函数单调性知x+y+c=0，
若A∩B=φ，则只要圆x²+y²=1与直线x+y+c=0相离或相切即可，故≥1．
∴c≥或c≤
分析：（1）为使f（x+y）=f（x）•f（y）中有f（0），由当x＞0时，f（x）＞1．可设x=0，y=1可得f（1）=f（0）•f（1），结合f（1）＞1可求f（0）
（2）要证明f（x）在R上是增函数，即证明当x₁＜x₂时，有f（x₁）＜f（x₂），当x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，，有x₂-x₁＞0，则f（x₂）=f（x₁+x₂-x₁）=f（x₁）•f（x₂-x₁），可证
（3）由f（x²+y²）＜f（1）及单调性知x²+y²＜1可求A；由f（x+y+c）=f（0）=1和函数单调性知x+y+c=0可求B，若A∩B=φ，用图形分析可得：只要圆x²+y²=1与直线x+y+c=0相离或相切即可
点评：本题主要考查了利用抽象函数的赋值法求解函数值，及利用构造法证明函数的单调性的技巧要求考生熟练应用，利用函数的单调性把集合的基本运算转化为直线与圆的位置关系，本题是一道构思非常巧妙的试题．