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    如图，已知椭圆C：＝1(a＞1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：x2＋y2－6x－2y＋7＝0相切．

    (Ⅰ)求椭圆C的方程；

    (Ⅱ)若不过点A的动直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且求证：直线l过定点，并求出该定点N的坐标

    答案：
    解析：

    　　(Ⅰ)将圆的一般方程化为标准方程

    　　，圆的圆心为，半径．

    　　由，得直线，

    　　即，

    　　由直线与圆相切，得，

    　　或(舍去)．　2分

    　　当时，，

    　　故椭圆的方程为　4分

    　　(Ⅱ)(方法一)由知，从而直线与坐标轴不垂直，

    　　由可设直线的方程为，

    　　直线的方程为．

    　　将代入椭圆的方程

    　　并整理得：，　6分

    　　解得或，因此的坐标为，

    　　即　8分

    　　将上式中的换成，得．

    　　直线的方程为

    　　化简得直线的方程为，

    　　因此直线过定点．　12分


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    如图，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1和F2，椭圆C与x轴的两交点分别为A、B，点P是椭圆上一点(不与点A、B重合)，且∠APB＝2α，∠F1PF2＝2β．

    (Ⅰ)若β＝45°，三角形F1PF2的面积为36，求椭圆C的方程；

    (Ⅱ)当点P在椭圆C上运动时，试证明tanβ·tan2α是定值．

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    科目：高中数学 来源：2007年广州市普通高中学生学业水平测试数学(理科) 题型：044

    如图，已知椭圆C：(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1和F2，椭圆C与x轴的两交点分别为A、B，点P是椭圆上一点(不与点A、B重合)，且∠APB＝2a，∠F1PF2＝2β．

    (Ⅰ)若β＝45°，三角形F1PF2的面积为36，求椭圆C的方程；

    (Ⅱ)当点P在椭圆C上运动，试证明tanβ·tan2a为定值．

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    在平面直角坐标系xOy中，如图，已知椭圆C：的上、下顶点分别为A、B，点P在椭圆C上且异于点A、B，直线AP、PB与直线l：y＝－2分别交于点M、N.

    （1）设直线AP、PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1·k2为定值；

    （2）求线段MN长的最小值；

    （3）当点P运动时，以MN为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论．

     

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    如图，已知椭圆E：＝1(a>b>0)的长轴长是短轴长的2倍，且过点C(2,1)，点C关于原点O的对称点为D.

    (1)求椭圆E的方程；

    (2)点P在椭圆E上，直线CP和DP的斜率都存在且不为0，试问直线CP和DP的斜率之积是否为定值？若是，求此定值；若不是，请说明理由；

    (3)平行于CD的直线l交椭圆E于M、N两点，求△CMN面积的最大值，并求此时直线l的方程．

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